TABLE DES MATIÈRES 1 Système des équations aux différences 1 1

TABLE DES MATIÈRES
1 Système des équations aux différences 1 1.1 Équations aux différences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Équations aux différences linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Équations aux différences non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Les semi-cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Systèmes des équations aux différences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Systèmes des équations aux différences linéaires . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Les systèmes des équations aux différences non linéaires . . . . . . . . 14
1.2.3 Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Stabilité Asymptotique d’une Équation aux Différences Rationnelle d’ordre 2 19 2.1 Solution trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Solution oscillation et solution non oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Stabilité asymptotique du point d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Stabilité asymptotique locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Stabilité globale attractif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Exemples numériques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
i

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
3 Le comportement d’un système de k-équations aux différences d’ordre 1 39
3.1 Etudier la stabilité des points d’équilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.1 Stabilité globale asymbtotique du point d’équilibre trivial 0 . . . . . . 43
3.1.2 Stabilité du point d’équilibre positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Existence de solutions illimitées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Exemples numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ii

CHAPITRE 1
SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES
Dans ce chapitre, nous allons donner quelques dénitions et résultats généraux de
base. Dans la première partie, on présente les équations aux différences linéaires et non li-
néaires. Dans la deuxième partie, on s’intéresse aux systèmes des équations aux différences
linéaires et non linéaires. Et nous allons donner aussi la dénition de semi-cycle et la déni-
tion l’oscillation d’une équation et d’un système.
1.1 Équations aux différences
1.1.1 Équations aux différences linéaires
Dénition 1.1.1 Une équation aux différences linéaires d’ordre k (k 2N
) est une équation de la forme
x n+ k +
p
1(
n )x
n+ k 1 +
+p
k(
n )x
n =
g(n ), n2 N
n0 (1.1)
1

1.1. ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCESCHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
avec g et p
j,
j= 1, ,k , sont des fonctions réelles dénies sur N
n0 et p
k6
= 0,
où Nn0 =
fn
0,
n
0 +
1 , n
0 +
2 , g ,n
0 2
Z
Remarque 1 En générale, on associe k valeurs initiales x n0 =
c
1,
x
n0+
1 =
c
2,
,x
n0+
k 1 =
c
k ,
avec
l’équation (1.1), tel que c
i,
i = 1, ,k sont des nombres réels ou complexes.
Dénition 1.1.2
1. On dit que l’équation (1.1)est homogène si et seulement si g (n ) = 0, et elle prend la forme
x n+ k +
p
1(
n )x
n+ k 1 +
+p
k(
n )x
n =
0 n2 N
0 (1.2)
2. On dit que l’équation (1.1)est non homogène si et seulement si g (n ) 6= 0.
3. Si p j,
j = 1, ,k sont des constantes réels ou complexes, alors l’équation (1.2)est dit équa-
tion aux différences linéaire homogène à coefcient constante, et donnée par
xn+ k +
p
1x
n+ k 1 +
+p
kx
n =
0 n2 N
0 (1.3)
Dénition 1.1.3 Une solution de l’équation (1.1)est une suite dénie sur N
n0.
Théorème 1.1.1 L’équation (1.1)avec les valeurs initiales x
n0 =
c
1,
x
n0+
1 =
c
2,
,x
n0+
k 1 =
c
k admet
une et une seul solution.
Résolution des équations aux différences linéaires
Les équations homogènes
2

CHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES1.1. ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
Théorème 1.1.2
(Fondamentale)
Si p k6
= 0, 8n n
0 , l’équation
(1.2)admet un ensemble fondamentale (un ensemble de k
solution libre).
Théorème 1.1.3 La solution générale de l’équation (1.2)est
x n = k
å
i = 1a
ix i
n
avec f(x 1
n )
n n
0,
,( x k
n )
n n
0g
un ensemble fondamentale du solution et a
i,
i = 1, ,k sont
des réels ou complexes.
Les équations homogènes à coefcients constantes
Théorème 1.1.4 L’équation (1.3)admet des solutions de la forme :
xn =
ln
avec l2 C
et vérie :
P(l ) = k
å
i = 0p
il k
i
= 0 p
0 =
1
tel que p (l ) est le polynôme caractéristique de l’équation (1.3).
X Si l
i,
i = 1, ,k sont des racines distinctes du polynôme caractéristique alors la solution
générale de l’équation (1.3)donnée par :
xn = k
å
i = 1a
il n
i
3

1.1. ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCESCHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
X
Si l
i,
i = 1, ,r (r 0
avec les valeurs initiales F 0=
0 , F
1 =
1. Donc
F n+ 2
F
n+ 1
F
n =
0
L’équation caractéristique r2
r 1= 0
Les racines de cette équation sont
l1 = 1
+ p 5
2
,
l
2 = 1
p 5
2
D’où Fn =
c
1
1+ p 5
2
!
n
+ c
2
1 p 5
2
!
n
On applique les conditions initiales, on obtient : c1 = 1 p
5
,
c
2 =
1 p
5
4

CHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES1.1. ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
D’où
Fn = 1 p
5

1+ p 5
2
!
n
1 p
5

1 p 5
2
!
n
.
Remarque 2 La suite de Fibonacci est une suite trés important pour la résolution des équations aux diffé-
rences non linéaires.
Équations non homogènes
Théorème 1.1.5 La solution générale de l’équation (1.1)donnée par
x n =
xh
n +
xp
n
= k
å
i = 1a
ix i
n +
xp
n n
n
0
Avec x h
n est la solution homogène et x p
n est la solution particulière.
Analyse de la stabilité des solutions
Dénition 1.1.4 La solution f x
ng
n> n
0 de l’équation
(1.3)est dit :
– Stable :
Si pour toutes autre solution fx
ng
n; n
0 de l’équation
(1.3)
e n =
¯
x
n
x
n
est borné.
5

1.1. ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCESCHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
– Asymptotiquement stable :
Si f¯
x
ng
n> n
0 stable et pour toutes autre solution
fx
ng
n> n
0 de la même équation on a
lim
n ! ¥e
n =
lim
n ! ¥ ¯
x
n
x
n =
0.
– Instable :
Si elle est non stable.
Théorème 1.1.6 Une solution fx
ng
n> n
0 de l’équation
(1.3)est asymptotiquement stable si et seulement
si les racines du polynôme caractéristique sont dans le cercle d’unité.
i.e. fx
ng
n> n
0 est asymptotiquement stable
() jl
ij
n
0 de l’équation
(1.3)est stable si et seulement si les modules des
racines de P (l ) est inférieure ou égale à 1, avec les racines de module égale à 1 sont des racines
simple.
1.1.2 Équations aux différences non linéaires
Dénition 1.1.5 Une équation aux différences d’ordre (k+1) est une équation de la forme :
xn+ 1 =
f( x
n,
x
n 1,
,x
n k)
(1.4)
avec f :Ik
+ 1
! I est une fonction continue, I un intervalle de R, et
( x
0,
x
1,
,x
k)
2 Ik
+ 1
sont les valeurs initiales .
Exemple 1.1.2
L’équation xn+ 1 = ax
n+
b cx
n+
d,
n2 N
0
6

CHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES1.1. ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
est appelé équation aux différences de Riccati avec a, b, c, d des nombres réelles tels que ad
bc 6= 0
et c 6= 0
Dénition 1.1.6 (Point d’équilibre)
On dit que ¯
x est un point d’équilibre de l’équation (1.4), Si
¯
x = f( ¯
x , ,¯
x )
tel que ¯
x 2 I , Autrement dit
xn =
¯
x , 8n 2N.
Dénition 1.1.7 (Périodicité)
Une solution fx
ng ¥
n = k de l’équation
(1.4)est dite
Éventuellement périodique de période p ( p 2N
), si
9 r 2 Z: x
n+ p =
x
n 8
n 2 N
r
périodique de période p ( p 2N
), si
x n+ p =
x
n 8
n ; k.
Dénition 1.1.8 Un intervalle J I est dit intervalle invariant pour (1.4)si
x k,
x
k+ 1,
,x
0 2
J=) x
n 2
J, 8 n 2 N.
Stabilité des équations aux différences non linéaires
Dénition 1.1.9 Soit¯
x un point d’équilibre de l’équation (1.4).
7

1.1. ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCESCHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
1.
¯
x est dit localement stable si
8#; 0, 9d; 0, 8x
k,
x
k+ 1,
,x
0 2
I, tel que jx
k
¯
x j+ +jx
0
¯
x j ; d
alors : jx
n
¯
x j k
2. ¯
x est dit asymptotiquement stable si
¯
x est localement stable.
9d; 0, 8x
k,
,x
0 2
I, jx
k
¯
x j+ +jx
0
¯
x j ; dalors
lim
n ! ¥x
n =
¯
x .
3. ¯
x est dit globalement attractif, si
8x
k,
,x
0 2
I, lim
n! ¥x
n =
¯
x .
4. ¯
x est dit globalement asymptotiquement stable, si
localement stable.
globalement attractif.
5. ¯
x est dit instable si ¯
x n'est pas stable.
Linéarisation des équations aux différences non linéaire Supposons en plus que fest une fonction différentiable au voisinage du point d'équi-
libre ¯
x .
Dénition 1.1.10 L'équation yn+ 1 =
p
0y
n +
p
1y
n 1 +
+p
ky
n k (1.5)
8

CHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES1.1. ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
avec
pi = ¶
f ¶
u
i(
¯
x , ,¯
x ),
est appelle équation aux différences linéaire associé à l'équation (1.4)autour de ¯
x.
et P(l ) = lk
+ 1
p
0l k
p
k.
son polynôme caractéristique associé.
Remarque 3 La stabilité de l'équation (1.5)informez nous en conclusion la stabilité de l'équation non li-
néaire (1.4).
Stabilité par linéarisation
Théorème 1.1.8
Si toute les racines du polynôme caractéristique de l'équation linéaire associé sont dans le disque
ouvert jl j 1, alors le point d’équilibre ¯
x de l’équation (1.4)est instable.
Théorème 1.1.9 (Théorème de Clark)
Une condition sufsante de la stabilité asymptotique de l’équation (1.4)est :
j P
0j
+ jP
1j
+ +jP
kj
< 1.
Remarque 4 Toute solution fx
ng ¥
n = k de l'équation
(1.4)est uniquement déterminer par les valeurs ini-
tiales.
9

1.1. ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCESCHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
1.1.3 Oscillation
Dénition 1.1.11 Une suite fx
ng +
¥
n = 0 est dite non oscillatoire par rapport au point d'équilibre
¯
x, s'il existe
un n 02
N tel que, soit
xn
¯
x , pour tout n n
0,
ou bien xn k et x
l 1
>
>
>
>
>

>
>
>
>
>
>
: y
(
1 )
n + 1 =
a
11 (
n )y (
1 )
n +
a
12 (
n )y (
2 )
n +
a
1k (
n )y (
k )
n +
b
1(
n )
y (
2 )
n + 1 =
a
21 (
n )y (
1 )
n +
a
22 (
n )y (
2 )
n +
a
2k (
n )y (
k )
n +
b
2(
n )
.
.
.
y (
k )
n + 1 =
a
k1 (
n )y (
1 )
n +
a
k2 (
n )y (
2 )
n +
a
kk (
n )y (
k )
n +
b
k(
n )
avec les valeurs initiales Y
0 = (
y(
1 )
0 ,
y (
2 )
0 ,
,y (
k )
0 )T
sont des constantes réels ou complexes.
Alors, le système peut écrit sous la forme :
Yn+ 1 =
A(n )Y
n +
B(n ) (1.6)

A(n ) = 0
B
B
B
B
B
B
B
@ a
11 (
n ) a
12 (
n ) a
1k (
n )
a 21 (
n ) a
22 (
n ) a
2k (
n )
.
.
.
a k1 (
n ) a
k2 (
n ) a
kk (
n ) 1
C
C
C
C
C
C
C
A , B
(n ) = 0
B
B
B
B
B
B
B
@ b
1(
n )
b 2(
n )
.
.
.
b k(
n ) 1
C
C
C
C
C
C
C
A
et Y
n = (
y(
1 )
n ,
y (
2 )
n ,
,y (
k )
n )T
Remarque 5 Si B(n ) = 0
R k
alors, on dit que
(1.6)est un système de k-équations aux différences linéaires
homogènes non autonomes
i.e Yn+ 1 =
A(n )Y
n,
n= 0, 1, (1.7)
Théorème 1.2.1 11

1.2. SYSTÈMES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCESCHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
Pour chaque x
02
Rk
et n 02
Z+
il existe unique solution de (1.7)avec x (n ,n
0,
x
0) =
x
0
Les systèmes autonomes Nous disons que (1.6) est autonome si A(n) et B(n) ne dépend pas de n c-à-d qu’il
existe deux matrices A et B constantes réels tel que
Yn+ 1 =
AY
n+
B, n= 0, 1, (1.8)
Remarque 6 Si B =0
R alors, on dit que
(1.8)est un système de k-équations aux différences linéaires
homogènes autonomes
i.e. Yn+ 1 =
AY
n,
n= 0, 1,
Si Y
0 = (
y(
1 )
0 ,
y (
2 )
0 ,
,y (
k )
0 )
est la valeur initial de la solution, nous avons
Yn =
An
Y 0
C-à d 0
B
B
B
B
B
B
B
@ y
(
1 )
n
y (
2 )
n
.
.
.
y (
k )
n 1
C
C
C
C
C
C
C
A =0
B
B
B
B
B
B
B
@ a
11 a
12
a
1k
a 21 a
22
a
2k
.
.
. .
.
. .
.. .
.
.
a k1 a
k2
a
kk 1
C
C
C
C
C
C
C
A n
0
B
B
B
B
B
B
B
@ y
(
1 )
0
y (
2 )
0
.
.
.
y (
k )
0 1
C
C
C
C
C
C
C
A
Pour résoudre les système des équations aux différences linéaires autonomes, on uti-
lise la forme de Jordan.
Forme de Jordan Matrice diagonalisable 12

CHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES1.2. SYSTÈMES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
Théorème 1.2.2
:
Une matrice k k est diagonalisable si et seulement si elle a K vecteurs propres linéairement
indépendants.
Si une matrice A est similaire à une matrice diagonale D ( D= diag (l
1,
l
2,
,l
k)
)
alors A est diagonalisable, c-à-d les élément diagonaux de D sont les valeurs propres de A
i.e.
D=0
B
B
B
B
B
B
B
@ l
1 0
0
0 l
2
0
.
.
. .
.
. .
. . .
.
.
0 0 l
k 1
C
C
C
C
C
C
C
A
Tant que A est une matrice diagonalisable c-à-d qu’il existe une matrice non singulière P=
v
1,
v
2,
,v
k
tel que les v
i,
i= 1, ,k sont les vecteurs propres associées à l
i,
i= i, ,k
respectivement.On peut écrit la matrice D sous la forme
D= P
1
AP
Donc A= PD P
1
Alors An
= PD n
P
1
Par conséquence Yn =
An
Y 0
= P0
B
B
B
B
B
B
B
@ l
n
1 0
0
0 ln
2
0
.
.
. .
.
. .
.. .
.
.
0 0 ln
k 1
C
C
C
C
C
C
C
A P

1
Y 0
13

1.2. SYSTÈMES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCESCHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
1.2.2 Les systèmes des équations aux différences non linéaires
On considère le système de k-équation aux différences d’ordre 1 8
;
;
;
;
;
;
;

;
;
;
;
;
;
: y
(
1 )
n + 1 =
f
1 (
y (
1 )
n ,
,y (
k )
n )
,
y (
2 )
n + 1 =
f
2 (
y (
1 )
n ,
,y (
k )
n )
,
.
.
.
y (
k )
n + 1 =
f
k (
y (
1 )
n ,
,y (
k )
n )
.
avec les valeurs initiales (y (
1 )
0 ,
,y (
k )
0 )T
sont des constantes réelles ou complexes.
Donc, le système de k-équations aux différences non linéaires d’ordre 1, écrit sous la forme
Yn+ 1 =
F(Y
n)
, n2 N
0 (1.9)
où Y
n = (
y(
1 )
n ,
y (
2 )
n ,
,y (
k )
n )T
, et Fest une fonction continument différentiable dénie comme
suite
F:Ik
!I
( y (
1 )
n ,
y (
2 )
n ,
,y (
k )
n )
7! F(f
1 ,
f
2 ,
,f
k )
Dénition 1.2.1 (point d’équilibre)
Un point ¯
Y 2Ik
est dit point d’équilibre de (1.9)si
¯
Y = F( ¯
Y )
¯
Y est la solution xe du système (1.9)
Stabilité des systèmes d’équations aux différences non linéaires
Dénition 1.2.2 Une fonction non négative sur Rk
est appelée une norme, et est désigne par k k, si les
propriétés suivantes sont satisfait.
14

CHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES1.2. SYSTÈMES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
i)
kxk = 0seul ement si x =0;
ii) kax k= ja j k xk, pour tout x 2Rk
, a 2 R ;
iii) kx + yk k xk + kyk , pour tout x ,y 2Rk
.
Remarque 7 Les trois normes les plus couramment utilisées sur Rsont :
1. La norme L 1:
k xk
1 = k
å
i = 1j
x
ij
;
2. La norme L 2:
k xk
2 = ( k
å
i = 1j
x 2
i j
) 1 2
;
3. La norme L ¥:
k xk
¥ =
max
1 i kj
x
ij
;
Dénition 1.2.3 Soit¯
w un point d’équilibre du système (1.9), etk.k une norme dénie sur Rk
.
1. ¯
y est localement stable si pour chaque e> 0 , 9d> 0, tel que
k y
0
¯
y k < d ) k y
n
¯
y k 0, tel que ky
0
¯
y k < d ) k y
n
¯
y k ! 0quand n !+¥
3. ¯
y est globalement attractif si pour chaque y
0,
k y
n
¯
y k ! 0,n! +¥
4. ¯
y est globalement asymptotiquement stable si
¯
y localement stable.
8 y
0,
ky
n
¯
y k ! 0,n! +¥ (i.e¯
y globalement attractif)
5. ¯
y est instable si elle n'est pas localement stable.
15

1.2. SYSTÈMES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCESCHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
Stabilité par linéarisation
Dénition 1.2.4 Soit le système Yn+ 1 =
F(Y
n)
Le système linéaire associé au système (1.9)autour du point d'équilibre ¯
y est donné par
Z n+ 1 =
AZ
n,
n2N
0
Où A est la matrice Jacobien de la fonction F au point d'équilibre ¯
y, qui s'écrit sous la forme
A = 0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@ ¶
f
1 ¶
y (
1 )
n (
¯
y ) ¶
f
1 ¶
y (
2 )
n (
¯
y ) ¶
f
1 ¶
y (
k )
n (
¯
y )
¶ f
2 ¶
y (
1 )
n (
¯
y ) ¶
f
2 ¶
y (
2 )
n (
¯
y ) ¶
f
2 ¶
y (
k )
n (
¯
y )
.
.
. .
.
. .
.
. .
.
.
¶ f
k ¶
y (
1 )
n (
¯
y ) ¶
f
k ¶
y (
2 )
n (
¯
y ) ¶
f
k ¶
y (
k )
n (
¯
y ) 1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
. Le polynôme caractéristique du système (1.9)donné par
P (l ) = det(A lI
k )
tel que I kest la matrice identité.
Théorème 1.2.3
1. Si les valeurs propres de la matrices jacobien A de module inférieur à 1 (jl
ij
1) alors
¯
y est instable.
16

CHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES1.2. SYSTÈMES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
1.2.3 Oscillation
Dénition 1.2.5 Une solution fX
ng +
¥
n = 0 =
f(x (
1 )
n ,
x (
2 )
n ,
,x (
k )
n )
g +
¥
n = 0 du système
(1.9)est dite non oscilla-
toire autour du point ¯
X = ( ¯
x
1,
¯
x
2,

x
k)
, si pour tous i =1, ,k, la suite fx(
i)
n g+
¥
n = 0 est non
oscillatoire autour du point ¯
x
i.
17

1.2. SYSTÈMES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCESCHAPITRE 1. SYSTÈME DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
18

CHAPITRE 2
STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE
ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 2
Dans ce chapitre, nous allons examiner la stabilité asymptotique globale de l’équation
aux différences rationnelle d’ordre 2
yn+ 1 = y
ny
n 1 +
a y
n +
y
n 1 ,
n= 0, 1, (2.1)
où a 20, ¥ et les valeurs initiale y
1,
y
0 2
0, ¥ .
19

CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 2introduction et cas particulière
Soit f
a une fonction dénie par
fa :
0, ¥ 2
! R
( x ,y ) 7! f
a (
x ,y ) = xy
+a x
+ y ,
alors, y
n+ 1 =
f
a (
y
n,
y
n 1)
et l’intervalle 0, ¥ est un intervalle invariant de f
a .
En effet xy +a; 0et x +y; 0, donc
xy+a x
+ y ;
0 .
Cas particulier (quand a = 0) Dans ce cas, l’équation aux différences rationnelle (2.1) devient
yn+ 1 = y
ny
n 1 y
n +
y
n 1 ,
n= 0, 1, … (2.2)
On sait que l’intervalle 0, ¥ est un intervalle invariant de (2.2) , alors
y n +
y
n 1 ;
y
n 1 () 1 y
n +
y
n 1 ;
1 y
n 1 ,
() y
ny
n 1 y
n +
y
n 1 ;
y
ny
n 1 y
n 1 ,
alors 0; y
n+ 1 0, par le changement de variable suivant
yn = p ax
n
on obtient (d’après (2.1)) p ax
n+ 1 = p ax
np ax
n 1 +
a p
ax
n+ p ax
n 1
= a
(x
nx
n 1 +
1) p
a
(x
n +
x
n 1)
alors, l’équation (2.1) devient xn+ 1 = x
nx
n 1 +
1 x
n +
x
n 1 , (2.3)
où les valeurs initiales x
1,
x
0 2
0, ¥ , alors
x n+ 1 =
f
1 (
x
n,
x
n 1)
21

2.1. SOLUTION TRIVIAL
CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 2Remarque 8
Le comportement de l’équation (2.1)et l’équation (2.3)est le même puisque le changement de
variable est linéaire (le changement de variable est linéaire est conservé la structure de l’équation).
on écrit l’équation (2.3) sou la forme suivante (f = f
1 )
x n+ 1 =
f( x
n,
x
n 1)
, n= 0, 1, … (2.4)
avec les valeurs initiales x
1,
x
0 2
0, +¥
Les points d’équilibres de l’équation (2.4) vériés
¯
x = f( ¯
x , ¯
x )
alors ¯
x = ¯
x 2
+ 1 2
¯
x
donc ¯
x = 1 ou ¯
x = 1
d’où il y a un seul point d’équilibre de l’équation (2.3) ¯
x = 1.
2.1 Solution trivial Une solution trivial est une solution éventuellement égal le point d’équilibre.
Dénition 2.1.1 (éventuellement égal à 1)
Une solution fx
ng ¥
n = 1 de l’équation
(2.3)est éventuellement égal à 1 si et seulement si
9 n
0 2
N;8n > n
0;
x
n =
1.
22

CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 2 2.1. SOLUTION TRIVIAL Théorème 2.1.1
Une solution positive fx
ng ¥
n = 1de l’équation
(2.3)est éventuellement égal à 1 si et seulement
si :
(x
1
1)( x
0
1) = 0 (2.5)
Preuve ( )Supposons que (x
1
1)( x
0
1) = 0, et on montre que fx
ng ¥
n = 1est éventuellement
égal à 1.
On a
(x
1
1)( x
0
1) = 0() 8
;
;
;
;

;
;
;
: x
1 =
1
ou x0 =
1
Si x
1 =
1
Nous avons x1 =
f( x
0,
x
1) =
f( x
0, 1
) = x
0 +
1 x
0 +
1=
1,
ainsi x2 =
f( x
1,
x
0) =
f(1, x
0) = x
0 +
1 1
+ x
0 =
1,
alors x3 =
f( x
2,
x
1) =
f(1, 1 ) = 2 2
=
1,
ainsi de suite xn =
f(1, 1 ) = 1,8n= 1, 2, .
Si x
0 =
1
Nous avons x1 =
f( x
0,
x
1) =
f(1, x
1) = x
1 +
1 1
+ x
1 =
1,
ainsi x2 =
f( x
1,
x
0) =
f(1, 1 ) = 1,
23

2.1. SOLUTION TRIVIAL
CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 2ainsi de suite
xn =
f(1, 1 ) = 1,8n= 0, 1, .
( )Réciproquement, on suppose que la solution positive fx
ng ¥
n = 1 de l’équation
(2.3) est éventuellement égal à 1, et on montre que (x
1
1)( x
0
1) = 0.
En utilisant la raisonnement par contraposée, c’est à dire, on supposons que
( x
1
1)( x
0
1) 6= 0, et on montre que fx
ng ¥
n = 1 n’est par éventuellement égal à
1 (i.e. aucun terme égal à 1 8n = 1, 0, ), pour cela en utilisant la raisonnement
par contradiction, supposons que pour certaines N>1, x
N =
1 et x
n 6
= 1
8 16 n6 N1, ( x
N le premier terme qui est égal à 1), donc
x N =
f( x
N 1,
x
N 2)
= x
N 1x
N 2 +
1 x
N 1 +
x
N 2 =
1
, x
N 1x
N 2 +
1= x
N 1 +
x
N 2
, x
N 1x
N 2 +
1 x
N 1
x
N 2 =
0
, (x
N 1
1)( x
N 2
1) = 0
alors xN 1 =
1 ou x
N2 =
1
donc si x
N =
1, on trouve que x
N 1 =
1 ou x
N 2 =
1 contradiction.
Alors 8n> 1, x
n 6
= 1 d’où (x
1
1)( x
0
1) = 0.
Remarque 9 Si les valeurs initiales ne satisfait pas l’équation (2.5), alors x
nest une solution n’est pas
éventuellement égale à 1, de plus x n6
= 1 pour n ;1 et x
n6
= x
n 1 pour n
;1.
24

CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 22.2. SOLUTION OSCILLATION ET SOLUTION NON OSCILLATION En effet
supposons que 9r 2 R tel que x
r=
1 ( x
r est le premier terme de la suite qui est égal à 1)
x r = x
r 1x
r 2 +
1 x
r 1 +
x
r 2 =
1
() x
r 1x
r 2 +
1 x
r 1
x
r 2 =
0
() (x
r 1
1)( x
r 2
1) = 0
alors x
r 1 =
1 ou x
r 2 =
1 contradiction
d’où x
n 6
= 1 8n> 0
suppose qu’il existe n
0 2
N tel que x
n0 =
x
n0
1, donc
x n0
x
n0
1 =
0 = x
n0
1x
n0
2 +
1 x
n0
1 +
x
n0
2
x
n0
1
= x
n0
1x
n0
2 +
1 x2
n 0
1
x
n0
1x
n0
2 x
n0
1 +
x
n0
2
= 1
x2
n 0
1 x
n0
1 +
x
n0
2
) x
n0
1 =
1 contradiction
d’où x
n 6
= x
n 1 pour tout
n> 0.
2.2 Solution oscillation et solution non oscillation dans cette section, on va étudier la solution qui n’est pas éventuellement égal à
1 (de plus 8n 2 N,x
n 6
= 1).
Théorème 2.2.1 Soitfx
ng ¥
n = 1 une solution non trivial de l’équation
(2.3), alors les assertions suivantes sont
valables
A) (x
n+ 1
x
n)(
x
n
1) 0.
25

2.2. SOLUTION OSCILLATION ET SOLUTION NON OSCILLATION
CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 2B)
(x
n+ 1
1)( x
n
1)( x
n 1
1) > 0 pour tout n >0.
Preuve
A) D’après l’équation (2.3) nous obtenons pour tout n= 0, 1,
x n+ 1
x
n = x
nx
n 1 +
1 x
n(
x
n +
x
n 1) x
n +
x
n 1
= x
nx
n 1 +
1 x2
n
x
nxn
1 x
n +
x
n 1
= 1
x2
n x
n +
x
n 1
= (
x
n +
1)( 1 x
n) x
n +
x
n 1
alors (x
n+ 1
x
n)(
x
n
1) = (
x
n
1)2
( x
n +
1) x
n +
x
n 1
Donc (x
n+ 1
x
n)(
x
n
1) 0 pourtout n =0, 1,
26

CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 22.2. SOLUTION OSCILLATION ET SOLUTION NON OSCILLATION Remarques
(*) D’après le théorème précédent, on a le tableau suivant x
1 x
0 x
1 x
2 x
3 x
4 x
5
cas
1 + + + + + + +
cas
2 + + +
cas
3 + +
cas
4 + +
avec + exprime que le terme est strictement supérieure à
¯
x (¯
x = 1),
et – exprime que le terme est strictement inférieure à ¯
x (¯
x = 1),
(**) La solution de l’équation (2.3) est non oscillation si
x 1 >
1et x
0>
1 (cas 1)
et oscillation si x 1 >
1et x
0<
1 (cas 2)
ou x 1
1 (cas 3)
ou x 1 <
1et x
0 0
si (x
1
1) > 0,(x
0
1) > 0 (cas 1)
Donc, x
1
1> 0, c’est à dire que x
1 ;
1 ,
ainsi pour n= 1
(x
2
1)( x
1
1)( x
0
1) ; 0
alors, x
2
1; 0 c’est à dire que x
2 >
1 ,
ainsi de suite (x
n
1)( x
n 1
1)( x
n 2
1) > 0 n= 1, 2,
comme (x
n 1
1) > 0et (x
n 2
1) > 0
donc x
n
1> 0 d’où, x
n ;
1
c’est à dire, il existe un semi-cycle strictement positive de l’équation (2.3) a un nombre
inni de terme.
D) Si x
1 ;
1ou x
0 0
si et seulement s’il y a deux termes négatifs sauf peut être pour le premier et un terme
positive. D’où, nous concluons que chaque semi-cycle négative a exactement deux
termes sauf peut être pour le premier, et chaque semi-cycle strictement positive a un
seul terme.
28

CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 2 2.3. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE DU POINT D’ÉQUILIBRE 2.3 Stabilité asymptotique du point d’équilibre
Dans cette partie, en étudier la stabilité du point d’équilibre ¯
x = 1 par la méthode
de la stabilité par linéarisation.
2.3.1 Stabilité asymptotique locale
Théorème 2.3.1 Le point d’équilibre positif ¯
x de l’équation (2.3)est localement asymptotiquement stable.
Preuve
Nous avons l’équation (2.3) écrit sous la forme
f( x ,y ) = xy
+1 x
+ y
donc ¶f ¶
x (
x ,y ) = y
2
1 (
x + y)2
¶ f ¶
y (
x ,y ) = x
2
1 (
x + y)2
donc p0 = ¶
f ¶
x (
¯
x , ¯
x ) = 0
p 1 = ¶
f ¶
y (
¯
x , ¯
x ) = 0
alors, l’équation linéaire associée de l’équation (2.3) autour du point d’équilibre positive ¯
x = 1 est
Zn+ 1 =
0.Z
n +
0.Z
n 1
et son polynôme caractéristique est
P(l ) = l2
p
0l
p
1
29

2.3. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE DU POINT D’ÉQUILIBRE
CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 2alors la racine de
P(l ) est l= 0
donc, d’après le théorème 1.1.8 le point d’équilibre ¯
x est localement asymptotiquement
stable (c’est à dire que jl j
1 qui a un nombre inni de terme. Montrons que les termes
d’un semi-cycle strictement positive est tend vers le point d’équilibre ¯
x , d’après le théorème 2.2.1
la partie (A) on a (x
n+ 1
x
n)(
x
n
1) ; 0pour n 0
30

CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D'UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D'ORDRE 2 2.3. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE DU POINT D'ÉQUILIBRE donc
(x
n+ 1
x
n)
; 0
ainsi xn+ 1 ;
x
n
alors, la suite fx
ng ¥
n = 1 est une suite décroissante et minoré par 0, donc elle est convergente
i.e. lim
n ! +¥ x
n =
l existe et f inie ,
prendre les limites des deux côtes de l'équation (2.3), on obtient
lim
n ! +¥ x
n+ 1 =
lim
n ! +¥ x
nx
n 1 +
1 x
n +
x
n 1
alors, l= l
2
+ 1 2
l
donc l= 1 ou l =1
d'où lim
n ! ¥x
n =
¯
x = 1.
Si la solution oscillation Selon le théorème 2.2.1 la partie (B) et le théorème 2.2.2 la partie (D), on a chaque
semi-cycle strictement positive de cette solution a exactement un seul terme, et chaque semi-
cycle négative sauf peut être pour le premier a exactement deux termes.
On note par x
p le terme d'un semi-cycle strictement positive suivi par les termes d'un
semi-cycle négatives qui sont x
p+ 1 et
x
p+ 2, donc la suite
fx
ng ¥
n = 1 écrit sous la forme
,x
p 2 ,
x
p 1 ,
x
p ,
x
p+ 1 ,
x
p+ 2 ,
x
p+ 3 ,

, , ,+ , , ,+ ,
31

2.3. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE DU POINT D'ÉQUILIBRE
CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D'UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D'ORDRE 2alors
a) fx
p+ 3n g ¥
n = 0 est décroissant.
b) Les deux suites fx
p+ 3n + 1g ¥
n = 0 et
fx
p+ 3n + 2g ¥
n = 0 sont croissantes.
En effet a) Montrer que fx
p+ 3n g ¥
n = 0 est décroissant
on a xp+ 3n = x
p+ 3n 1x
p+ 3n 2 +
1 x
p+ 3n 1 +
x
p+ 3n 2
= x
p+ 3n 2x
p+ 3n 3 +
1 x
p+ 3n 2 +
x
p+ 3n 3 x
p+ 3n 2 +
1 x
p+ 3n 2x
p+ 3n 3 +
1 x
p+ 3n 2 +
x
p+ 3n 3 +
x
p+ 3n 2
= x
2
p + 3n 2x
p+ 3n 3 +
2x
p+ 3n 2 +
x
p+ 3n 3 x
p+ 3n 2 +
x
p+ 3n 3 x
2
p + 3n 2 +
2x
p+ 3n 2x
p+ 3n 3 +
1 x
p+ 3n 2 +
x
p+ 3n 3
= x
2
p + 3n 2x
p+ 3n 3 +
2x
p+ 3n 2 +
x
p+ 3n 3 x
2
p + 3n 2 +
2x
p+ 3n 2x
p+ 3n 3 +
1 ,
puisque fx
p+ 3n 3g ¥
n = 0 est un terme de semi-cycle strictement positif, alors
2x
p+ 3n 2 ;
2x
p+ 3n 2x 2
p + 3n 3,
32

CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D'UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D'ORDRE 2 2.3. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE DU POINT D'ÉQUILIBRE donc
xp+ 3n ; x
2
p + 3n 2x
p+ 3n 3 +
2x
p+ 3n 2x 2
p + 3n 3 +
x
p+ 3n 3 x
2
p + 3n 2 +
2x
p+ 3n 2x
p+ 3n 3 +
1
= x
p+ 3n 3(
x 2
p + 3n 2 +
2x
p+ 3n 2x
p+ 3n 3 +
1) x
2
p + 3n 2 +
2x
p+ 3n 2x
p+ 3n 3 +
1
= x
p+ 3n 3
= x
p+ 3(n 1) n
= 1, 2,
b) Montrons que les deux terme d'un semi-cycle négatif sont croissantes
b1) Montrons que la suite fx
p+ 3n + 1g ¥
n = 0 est croissante
on a
xp+ 3n + 1 = x
p+ 3n x
p+ 3n 1 +
1 x
p+ 3n +
x
p+ 3n 1
= (
x
p+ 3n 1x
p+ 3n 2 +
1)/ (x
p+ 3n 1 +
x
p+ 3n 2)
x
p+ 3n 1 +
1 (
x
p+ 3n 1x
p+ 3n 2 +
1)/ (x
p+ 3n 1 +
x
p+ 3n 2) +
x
p+ 3n 1
= x
2
p + 3n 1x
p+ 3n 2 +
2x
p+ 3n 1 +
x
p+ 3n 2 x
2
p + 3n 1 +
2x
p+ 3n 1x
p+ 3n 2 +
1
puisque la suite fx
p+ 3n 2g ¥
n = 0 est un terme négative, alors
0 ; x
p+ 3n 2 ;
1 ,
donc 2x
p+ 3n 1x 2
p + 3n 2 x
2
p + 3n 1x
p+ 3n 2 +
2x
p+ 3n 1x 2
p + 3n 2 +
x
p+ 3n 2 x
2
p + 3n 1 +
2x
p+ 3n 1x
p+ 3n 2 +
1
= x
p+ 3n 2(
x 2
p + 3n 1 +
2x
p+ 3n 1x
p+ 3n 2 +
1) x
2
p + 3n 1 +
2x
p+ 3n 1x
p+ 3n 2 +
1
= x
p+ 3n 2
= x
p+ 3(n 1)+ 1 ,
n= 1, 2,
b2) Montrer que la suite fx
p+ 3n + 2g ¥
n = 0 est croissante
x p+ 3n + 2 = x
p+ 3n + 1x
p+ 3n +
1 x
p+ 3n + 1 +
x
p+ 3n
= x
p+ 3n x
p+ 3n 1+
1 x
p+ 3n +
x
p+ 3n 1 x
p+ 3n + x
p+ 3n +
x
p+ 3n 1 x
p+ 3n +
x
p+ 3n 1 x
p+ 3n x
p+ 3n 1+
1 x
p+ 3n x
p+ 3n 1 +x
p+ 3n (
x
p+ 3n x
p+ 3n 1) x
p+ 3n x
p+ 3n 1
= x
2
p + 3n x
p+ 3n 1+
x
p+ 3n +
x
p+ 3n +
x
p+ 3n 1 x
p+ 3n +
x
p+ 3n 1 x
p+ 3n x
p+ 3n 1+
1+ x2
p + 3n x
p+ 3n x
p+ 3n 1 x
p+ 3n +
x
p+ 3n 1
= x
2
p + 3n x
p+ 3n 1 +
2x
p+ 3n +
x
p+ 3n 1 x
2
p + 3n +
2x
p+ 3n x
p+ 3n 1 +
1
donc xp+ 3n + 2 ; x
2
p + 3n x
p+ 3n 1 +
2x
p+ 3n x 2
p + 3n 1 +
x
p+ 3n 1 x
2
p + 3n +
2x
p+ 3n x
p+ 3n 1 +
1
= x
p+ 3n 1(
x 2
p + 3n +
2x
p+ 3n x
p+ 3n 1 +
1) (
x 2
p + 3n +
2x
p+ 3n x
p+ 3n 1 +
1)
= x
p+ 3n 1.
34

CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 2 2.3. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE DU POINT D’ÉQUILIBRE Maintenant, les deux suites
fx
p+ 3n + 1g ¥
n = 0 et
fx
p+ 3n + 2g ¥
n = 0 sont croissantes et ma-
jorées par le point d’équilibre ¯
x = 1 , d’où elle est convergente, ainsi, la suite fx
p+ 3n g ¥
n = 0
est décroissante et minorée par le point d’équilibre ¯
x = 1 , alors elle est convergente .
Donc les limites
lim
n ! ¥x
p+ 3n =
L, lim
n ! ¥x
p+ 3n + 1 =
M et lim
n ! ¥x
p+ 3n + 2 =
N.
existent et sont nies , de plus L 1 , M1 et N 1 (2.6)
D’après le théorème 2.2.1 la partie A) on a
(x
p+ 3n + 2
x
p+ 3n + 1)(
x
p+ 3n + 1
1)
0
donc, xp+ 3n + 2 >
x
p+ 3n + 1,
8n = 0, 1,
d’où N; M
De plus, nous avons d’après (2.6)
M6N616 L.
35

2.3. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE DU POINT D’ÉQUILIBRE
CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 2Montrons que
L= M =N=1.
On a xp+ 3n = x
p+ 3n 1x
p+ 3n 2 +
1 x
p+ 3n 1 +
x
p+ 3n 2
x p+ 3n + 1 = x
p+ 3n x
p+ 3n 1 +
1 x
p+ 3n +
x
p+ 3n 1
x p+ 3n + 2 = x
p+ 3n + 1x
p+ 3n +
1 x
p+ 3n + 1 +
x
p+ 3n
Prendre les limites des deux côtés des égalités ci-dessus , on obtenue
8
;
;
;
;
;
;
;

;
;
;
;
;
;
: L
= M N
+1 M
+N
M =L N
+1 L
+ N
N = M L
+1 M
+L
donc 8
;
;
;
;

;
;
;
: L M
+L N M N =1
M L +M N L N =1
M N +N L M L =1
alors L M=1,N L =1,et M N =1
alors L= M =N=1.
Donc lim
n ! ¥x
p+ 3n =
lim
n ! ¥x
p+ 3n + 1 =
lim
n ! ¥x
p+ 3n + 2 = x
= 1.
d’où lim
x ! ¥x
n =
1 ,
36

CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 2 2.3. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE DU POINT D’ÉQUILIBRE donc
¯
x est globalement attractif, alors elle est globalement asymptotiquement stable.
37

2.4. EXEMPLES NUMÉRIQUES :
CHAPITRE 2. STABILITÉ ASYMPTOTIQUE D’UNE ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES
RATIONNELLE D’ORDRE 22.4 Exemples numériques :
Pour conrmer les résultats de ce chapitre, nous appliquons les exemples numériques
suivantes :
Exemple 2.4.1
Nous supposons
x0 =
15
x 1 =
40
a = 400 Exemple 2.4.2
Nous supposons
x0 =
45
x 1 =
28
a = 400 38

CHAPITRE 3
LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE
K-ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES
D’ORDRE 1
Introduction Dans ce chapitre nous étudions le comportement qualitatif des solutions du système 39

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1d’équation aux différences non linéaire
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
: y
(
1 )
n + 1 = a
1y (
1 )
n b
1 +
c
1 (
y (
2 )
n )p
1
y (
2 )
n + 1 = a
2y (
2 )
n b
2 +
c
2 (
y (
3 )
n )p
2
.
.
.
y (
k 1)
n + 1 = a
k 1y (
k 1)
n b
k 1 +
c
k 1(
y (
k )
n )p
k 1
y (
k )
n + 1 = a
ky (
k )
n b
k +
c
k(
y (
1 )
n )p
k (3.1)
où n2 N
0,
p
1,
p
2,
,p
k 2
N, k= 2, 3, , les paramêtres a
i,
b
i,
c
i,
i= 1, ,k et les
valeurs initiales y(
1 )
0 ,
y (
2 )
0 ,
,y (
k )
0 sont des nombres réels strictement positif.Ce système
est un généralisation du système de Yang et Yang où k= 2 et p
1 =
p
2, i.e.
8
>
>
>
>

>
>
>
: y
(
1 )
n + 1 = a
1y (
1 )
n b
1 +
c
1 (
y (
2 )
n )p
1
y (
2 )
n + 1 = a
2y (
2 )
n b
2 +
c
2 (
y (
1 )
n )p
2
le système (3.1) écrit sous la forme y(
i)
n + 1 = a
iy (
i)
n b
i +
c
i(
y (
i+ 1)
n )p
i,
i= 1, ,k (3.2)
tel que y(
k + 1)
n =
y(
1 )
n .
On pose x(
i)
n =
ci 1 b
i 1
1 p
i 1
y(
i)
n ,
i= 1, ,k
40

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1 avec
c
0 =
c
k,
b
0 =
b
k,
p
0 =
p
k
donc
y(
i)
n =
bi 1 c
i 1
1 p
i 1
x(
i)
n (3.3)
En utilisant le changement de variable (3.3) au système (3.2) , on a
bi 1 c
i 1
1 p
i 1
x(
i)
n + 1 = a
i
bi 1 c
i 1
1 p
i 1
x(
i)
n b
i +
c
i

bi c
i
1 p
i
x (
i+ 1)
n !
p
i
x (
i)
n + 1 = a
ix (
i)
n b
i +
b
i(
x (
i+ 1)
n )p
i
= a
ix (
i)
n b
i(
1 + ( x(
i+ 1)
n )p
i
)
on pose a
i= a
i b
i, alors
x(
i+ 1)
n = a
ix (
i)
n 1
+ ( x(
i+ 1)
n )p
i,
i= 1, ,k , n 2 N
0 (3.4)
tel que x(
k + 1)
n =
x(
1 )
n soit
X
n= (
x(
1 )
n ,
x (
2 )
n ,
,x (
k )
n )T
.
D’autre part le système (3.4) peut être écrit sous la forme vectorielle
Xn+ 1 =
F(X
n) = (
f
1 (
X
n)
, f
2 (
X
n)
, ,f
k (
X
n)) T
, n2N
0
où fi(
X
n) =
f
i(
x (
1 )
n ,
x (
2 )
n ,
,x (
k )
n ) = a
ix (
i)
n 1
+ ( x(
i+ 1)
n )p
i,
n2N
0
avec x(
k + 1)
n =
x(
1 )
n
41

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1Les point d’équilibre
Le système (3.4) écrit sous la forme : 8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
: x
(
1 )
n + 1 = a
1x (
1 )
n 1
+ ( x(
2 )
n )p
1
x (
2 )
n + 1 = a
2x (
2 )
n 1
+ ( x(
3 )
n )p
2
.
.
.
x (
k )
n + 1 = a
kx (
k )
n 1
+ ( x(
1 )
n )p
k
donc 8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
: ¯
x
1 = a
1 ¯
x
1 1
+ ¯
x p
1
2
¯
x
2 = a
2 ¯
x
2 1
+ ¯
x p
2
3
.
.
.
¯
x
k = a
k ¯
x
k 1
+ ¯
x p
k
1 ()
8
>
>
>
>
>
>
>
>

>
>
>
>
>
>
>
: ¯
x
1(
1 + ¯
x p
1
2
a
1) =
0
¯
x
2(
1 + ¯
x p
2
3
a
2) =
0
.
.
.
¯
x
k(
1 + ¯
x p
k
1
a
k) =
0
alors
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

>
>
>
>
>
>
>
>
>
: ¯
x
1 =
0ou 1+ ¯
x p
1
2
a
1 =
0
¯
x
2 =
0ou 1+ ¯
x p
2
3
a
2 =
0
.
.
. .
.
.
¯
x
k =
0ou 1+ ¯
x p
k
1
a
k =
0 () 8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

>
>
>
>
>
>
>
>
>
: ¯
x
1 =
0ou ¯
x
2 = (
a
1
1) 1 p
1 sia
1 >
1
¯
x
2 =
0ou ¯
x
3 = (
a
2
1) 1 p
2 sia
2 >
1
.
.
. .
.
.
¯
x
k =
0ou ¯
x
1 = (
a
k
1) 1 p
k sia
k >
1
Donc on remarque qu’il existe k2
possibilités .
Si ¯
x
1 =
0
42

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1 3.1. ETUDIER LA STABILITÉ DES POINTS D’ÉQUILIBRES on sait que si
a
k >
1, on a
¯
x
1 = (
a
k
1) 1 p
k = 0
donc ak =
1 contraduction
alors si a
k >
1, x
1 6
= 0
ainsi si ¯
x
2 =
0
on sait que si a
1 >
1, on a
¯
x
2 = (
a
1
1) 1 p
1 = 0
donc a1 =
1 contraduction
alors si a
1 >
1, x
2 6
= 0.
ainsi de suite .
D’où le système (3.4) admet un seul point d’équilibre si a
i 6
1
¯
X = ( ¯
x
1,
¯
x
2,

x
k) = (
0, 0, , 0)
et si a
i >
1 il y a un seul point d’équilibre positif
¯
X +
= (( a
k
1) 1 p
k ,( a
1
1) 1 p
1 , ,( a
k 1
1) 1 p
k 1
)
3.1 Etudier la stabilité des points d’équilibres
3.1.1 Stabilité globale asymbtotique du point d’équilibre trivial 0
Dans les deux théorèmes suivantes nous examinons la stabilité locale et globale du
point d’équilibre trivial 0 du système (3.4).
43

3.1. ETUDIER LA STABILITÉ DES POINTS D’ÉQUILIBRES
CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1Théorème 3.1.1
i) Si a
i
1, alors l’équilibre trivial est instable.
Preuve 1
le système linéarisé associe du système (3.4)autour d’un point d’équilibre ¯
X à la forme
Y n+ 1 =
J
F ( ¯
X )Y
n,
n2 N
0 (3.5)
où Y n= (
y(
1 )
n ,
,y (
k )
n )T
, et J F( ¯
X ) = D F(¯
X ) désigne la matrice jacobienne de F évaluée au point
¯
X.
La matrice jacobienne donnée par
J F (
X
n) = 0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@ a
1 1
+ ( x(
2 )
n )p
1
p
1(
x (
2 )
n )p
1
1
a 1x (
1 )
n (
1 + ( x(
2 )
n )p
1
) 2
0
0 a
2 1
+ ( x(
3 )
n )p
2 .
.. 0
.
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
.
0 0 .
.. p
k 1(
x (
k )
n )p
k 1
1
a k 1x (
k 1)
n (
1 + ( x(
k )
n )p
k 1
) 2
0 0 a
k 1
+ ( x(
1 )
n )p
k 1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
Pour ¯
X = ( ¯
x
1,

x
k) = (
0, , 0), le système linéaire associé au système (3.4)écrit sous la forme
X n+ 1 =
AX
n

A= J
F (
0, , 0) = 0
B
B
B
B
B
B
B
@ a
1 0
0
0 a
2
0
.
.
. .
.
. .
.. .
.
.
0 0 a
k 1
C
C
C
C
C
C
C
A
44

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1 3.1. ETUDIER LA STABILITÉ DES POINTS D’ÉQUILIBRES et
Xn= (
x(
1 )
n ,
x (
2 )
n ,
,x (
k )
n )T
Le polynôme caractéristique P
(l ) = det(A Il ) =

a
1
l 0 0
0 a
2
l 0
.
.
. .
.
. .
.. .
.
.
0 0 a
k
l

= ( a
1
l)( a
2
l) (a
k
l)
donc l’équation caractéristique est
(a
1
l)( a
2
l) (a
k
l) = 0
alors l= a
i,
i= 1, ,k donc d’après le théorème 1.2.3
Si a
i;
1, i= 1, ,k, alors le point d'équilibre trivial 0 est localement asymptotiquement stable,
sinon elle est instable.
Théorème 3.1.2 Supposons que a
i;
1, pourtout i =1, ,k, alors l'équilibre trivial est globalement asymp-
totiquement stable.
Preuve 2 SoitfX
ng ¥
n = 0 une solution du système
(3.4).
On a d'après le théorème 3.1.1 le point d'équilibre trivial est localement asymptotiquement stable,
donc il suft démontrer que l'équilibre trivial est globalement attarctif, i.e. qu'il suft de prouver
45

3.1. ETUDIER LA STABILITÉ DES POINTS D'ÉQUILIBRES
CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D'UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D'ORDRE 1que
lim
n ! ¥x
(
i)
n =
¯
x
i pour tout i
=1, ,k pour tout i =1, ,k. On a
x (
i)
n + 1 = a
ix (
i)
n 1
+ ( x(
i+ 1)
n )p
i;
i= 1, ,k , n 2 N
0
x (
i)
n + 1 = a
ix (
i)
n 1
+ ( x(
i+ 1)
n )p
i
a
ix (
i)
n
() x(
i)
n + 1
a
ix (
i)
n
donc x(
i)
n
a
ix (
i)
n 1
a
i(
a
ix (
i)
n 2) =
a2
i x (
i)
n 2
.
.
.
an
i x (
i)
0
donc
lim
n ! +¥ x
(
i)
n
lim
n ! +¥ a
n
i x (
i)
0 =
0 (car a
i
1pour tout i =1, ,k. alors, pour tout k, le point d’équilibre positif ¯
X +
du
système (3.4)est toujours instable.
Preuve 3 46

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1 3.1. ETUDIER LA STABILITÉ DES POINTS D’ÉQUILIBRES Le système linéaire associe autour de point d’équilibre positif
¯
X +
est
Y n+ 1 =
BY
n
où Yn = (
y(
1 )
n ,
,y (
k )
n )T
et
B = J
F ( ¯
X +
) = 0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@ 1
p
1(
¯
x
2)(
p
1
1)
¯
x
1 a
1
0
0 1 .
.. 0
.
.
. .
.
. .
.. .
.. .
.
.
0 0 .
.. p
k 1(
¯
x
k) (
p
k 1
1)
¯
x
k 1 a
k 1
p
k(
¯
x
1)(
p
k
1)
¯
x
k a
k 0
11
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
donc, on peut écrire la matrice B comme suit
B= b
i j = 8
>
>
>
>
>
>
>
>
>

>
>
>
>
>
>
>
>
: 1,
Si i =j
p
i(
¯
x
i+ 1)(
p
i
1)
¯
x
i a
i ,
Si j =i+ 1, i= 1, ,k 1
p
k(
¯
x
1)(
p
k
1)
¯
x
k a
k ,
Si i =k, j= 1
0, sinon
pour k =4(i = 1, , 4) B
= 0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@ 1
p
1 ¯
x
1(
¯
x
2) p
1
1 a
1 0 0
0 1 p
2 ¯
x
2(
¯
x
3) p
2
1 a
2 0
0 0 1 p
3 ¯
x
3(
¯
x
4) p
3
1 a
3
p
4 ¯
x
4(
¯
x
1) p
4
1 a
4 0 0 1 1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
47

3.1. ETUDIER LA STABILITÉ DES POINTS D’ÉQUILIBRES
CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1P
(l ) =

1
l b
12 0 0
0 1 l b
23 0
0 0 1 l b
34
b 41 0 0 1
l

= ( 1 l)4
+ ( 1)3
b 12 b
23 b
34 b
41
pour k =5(i = 1, , 5) B
= 0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@ 1
b
12 0 0 0
0 1 b
23 0 0
0 0 1 b
34 0
0 0 0 1 b
45
b 51 0 0 0 1 1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
P (l ) = det(B lI) =

1
l b
12 0 0 0
0 1 l b
23 0 0
0 0 1 l b
34 0
0 0 0 1 l b
45
b 51 0 0 0 1
l

P (l ) = ( 1 l)5
+ ( 1)4
b12 b
23 b
34 b
45 b
51
on déduit pour i =1, ,k le polynôme caractéristique écrit sous la forme
P (l ) = ( 1 l)k
+ ( 1)k
1
b12 b
23
b
(k 1)k b
k1
donc
p(l ) = ( 1 l)k
+ ( 1)k
1
p
1 ¯
x
1(
¯
x
2) p
1
1 a
1
p
2 ¯
x
2(
¯
x
3) p
2
1 a
2

p
k ¯
x
k(
¯
x
1) p
k
1 a
k
48

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1 3.1. ETUDIER LA STABILITÉ DES POINTS D’ÉQUILIBRES = (
1 l)k
+ ( 1)k
1
( 1)k 0
@ p
1(
a
k
1) 1 p
k (( a
1
1) 1 p
1 )p
1
1 a
1 1
A 0
@ p
2(
a
1
1) 1 p
1 (( a
2
1) 1 p
2 )p
2
1 a
2 1
A
0
@ p
k(
a
k 1
1) 1 p
k 1
(( a
k
1) 1 p
k ) p
k
1 a
k 1
A
alors P(l ) = ( 1 l)k
0
@ p
1(
a
k
1) 1 p
k (a
1
1)1
1 p
1 a
1 1
A 0
@ p
2(
a
1
1) 1 p
1 (a
2
1)1
1 p
2 a
2 1
A
0
@ p
k(
a
k 1
1) 1 p
k 1
(a
k
1)1
1 p
k a
k 1
A
= ( 1 l)k
p
1p
2
p
k (
a
1
1)( a
2
1) (a
k
1) a
1a
2
a
k
= ( 1 l)k
Õk
i = 1 p
i(
a
i
1) a
i
alors l’équation caractéristique donnée par
(1 l)k
k
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i =
0
pour cela, on considère une fonction continument différentiable f dénie par
f( x ) = ( 1 x)k
k
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i
alors f0
( x ) = k(1 x)k
1
on distingue deux cas possible,
49

3.1. ETUDIER LA STABILITÉ DES POINTS D’ÉQUILIBRES
CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1Cas 1 (
kpair ) Supposons que k paire, i.e. k
=2l, l2 N
. puisque f est continue sur 1, +¥ ,
f (1 ) = k
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i
0, a
i>
18 i= 1, ,k )
et lim
x ! +¥ f
( x ) = lim
x ! +¥
(1 x)k
k
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i !
= + ¥
alors, il existe l
1 2
1, +¥ tel que f (l
1) =
0, d’où d’après le théorème 1.2.3 le point d’équi-
libre positif ¯
X +
est instable.
Cas 2 ( kimpair ) Supposons que k impaire, i.e. k
=2l + 1, l2 N
, donc nous avons
lim
x ! ¥f
( x ) = lim
x ! ¥((
1 x)2
l+ 1
2
l+ 1
Õ
i = 1 p
i(
a
i
1) a
i ) = +
¥
et lim
x ! +¥ f
( x ) = lim
x ! +¥ ((
1 x)2
l+ 1
2
l+ 1
Õ
i = 1 p
i(
a
i
1) a
i ) =
¥
D’autre part, On a f0
( x ) = k(1 x)k
1
= (2 l + 1)( 1 x)2
l
< 0
ainsi f est strictement décroissant, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaire, il existe l
1
( réel unique ), tel que f (l
1) =
0.
Ici, nous examinons si l
1 est à l'intérieur ou à l'extérieur du disque de l'unité.
Nous avons f(1 ) = 2
l+ 1
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i <
0,
50

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D'UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D'ORDRE 1 3.1. ETUDIER LA STABILITÉ DES POINTS D'ÉQUILIBRES alors pour tout x
21, +¥ , nous avons
f( x ) < 2
l+ 1
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i ,
alors f non s'annule pas dans 1, +¥ , ainsi l
1 /
2 1, +¥ .
D'autre part, nous avons f( 1) = 22
l+ 1
2
l+ 1
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i
On remarque qu'il y a deux possibilité. Possibilité 1
si 22
l+ 1
< 2
l+ 1
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i ,
c'est à dire si f ( 1) 2
l+ 1
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i ,
c’est à dire si f ( 1) ; 0, alors l
1 2
1, 1 .
Si 22
l+ 1
= 2
l+ 1
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i ,
i.e . f( 1) = 0,
donc l
1 prend exactement la valeur de -1.
Si 22
l+ 1
; 2
l+ 1
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i ,
i.e . f( 1) ; 0,
l 1 2
1, 1 On a k =2l + 1 est impaire, et il y a un racine réel unique, donc les 2l racines
51

3.1. ETUDIER LA STABILITÉ DES POINTS D’ÉQUILIBRES
CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1restantes de f , que nous désignons par
fl
jg 2
l+ 1
2 , doivent être des paires complexes conjuguées .
Considérons la fonction g dénie par :
g(y ) = y2
l+ 1
2
l+ 1
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i ,
Clairement que g admet 2l + 1racines notons par fb
jg 2
l+ 1
1 . Puis la formule de Viète, nous avons
2 l+ 1
å
j = 1 b
j=
0,
on a f( x ) = ( 1 x)2
l+ 1
k
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i
si on pose y =1 x alors
g(y ) = y2
l+ 1
k
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i
donc, les racines de f et g respectivement donné par
lj=
1
k
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i !
1 2
l+ 1
b j=
k
Õ i = 1 p
i(
a
i
1) a
i !
1 2
l+ 1
donc l
j=
1 b
j,
j= 1, , 2l+ 1.
d’où 2l+ 1
å
j = 1 l
j= 2
l+ 1
å
j = 1(
1 b
j) = 2
l+ 1
å
j = 1 1
2
l+ 1
å
j = 1 b
j=
2l + 1
ainsi 2l+ 1
å
j = 2 l
j=
l+ 2
l+ 1
å
j = 1 l
j) =
l+ 2l + 1
52

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1 3.1. ETUDIER LA STABILITÉ DES POINTS D’ÉQUILIBRES et on a
l
1 2l
alors 2l+ 1
å
j = 2 l
j>
2l, (3.6)
Maintenant, comme fl
jg 2
l+ 1
2 sont des racines complexes conjuguées ( deux à deux ), alors
on peut écrire l2j =
a
j+
i b
j
et
l2j+ 1 =
a
j
i b
j
pour j =1 , ,l où : a
j,
b
j 2
R,
donc 2l+ 1
å
j = 2 l
j = l
å
j = 1l
2j + l
å
j = 1l
2j+ 1
= l
å
j = 1
l
2j +
l
2j+ 1
= l
å
j = 1
a
j+
i b
j+
a
j
i b
j
= l
å
j = 12
a
j =
2 l
å
j = 1a
j
de l’équation (3.6), on a
2l+ 1
å
j = 2 l
j=
2 l
å
j = 1a
j ;
2l
ainsi l
å
j = 1a
j ;
l
alors, il existe r 2 f1 , ,lg , tel que a
r;
1.
en effet
D’où
jl
2rj
= jl
2r+ 1j
= ja
r +
i b
rj
= ja
r
i b
rj
= q a
2
r +
b2
r > q a
2
r =
ja
rj
= a
r >
1
53

3.2. EXISTENCE DE SOLUTIONS ILLIMITÉES
CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1donc d’après le théorème 1.2.3, le point d’équilibre positive
¯
X +
est instable.
3.2 Existence de solutions illimitées
Théorème 3.2.1 Supposons que k =2l, a
i>
1, pour tout i =1, , 2l et soit fX g¥
0 être une solution de sys-
tème (3.4) tel que l’une des hypothèses suivantes :
( H .1) x(
2 j)
0 ;
¯
x
2j et x (
2 j 1)
0 ;
¯
x
2j 1 avec j
=1, ,l
ou (H .2) x(
2 j)
0
¯
x
2j 1 avec j
=1, ,l
Puis, fX g¥
0 non-oscillation autour du point d’équilibre
¯
X = ( ¯
x
1,

x
2l)
.
Preuve 4 On a x(
i)
n + 1 = a
i(
x (
i)
n ) 1
+ ( x(
i+ 1)
n )p
i
donc
x(
2 j)
n + 1 = a
2j
( x (
2 j)
n ) 1
+ ( x(
2 j+ 1)
n )p
2j et x
(
2 j 1)
n + 1 =a
2j
1(x (
2 j 1)
n ) 1
+ ( x(
2 j)
n )p
2j 1 ,
¯
x
2j = a
2j
( ¯
x
2j) 1
+ ( ¯
x
2j+ 1) p
2j et
¯
x
2j 1 = a
2j
1( ¯
x
2j 1) 1
+ ( ¯
x
2j) p
2j 1 . (3.7)
54

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1 3.2. EXISTENCE DE SOLUTIONS ILLIMITÉES
On suppose que x (
2 j)
0 >
¯
x
2j et x (
2 j 1)
0
a
2j ¯
x
(2 j) (
a
2j >
1, 8j= 1, ,l)
et (x (
2 j+ 1)
0 )p
2j

1et ¯
x
2j+ 1 >
1)
donc 1+ ( x(
2 j 1)
0 )p
2j

1 1
+ ( ¯
x
2j 1) p
2j
d’où a2jx (
2 j)
0 1
+ ( x(
2 j 1)
0 )p
2j ; a
2j ¯
x
2j 1
+ ( ¯
x
2j 1) p
2j ()
x(
2 j)
1 ;
¯
x
2j
et on sait que x(
2 j 1)
0
¯
x
2j,
avec j =1, ,l
. donc
a2j 1x (
2 j 1)
0
1, 8j= 1, ,l)
et (x (
2 j)
0 )p
2j 1
; (¯
x
2j) p
2j 1
(si x (
2 j)
0 ;
1et ¯
x
2j+ 1 ;
1)
donc 1+ ( x(
2 j)
0 )p
2j 1
; 1+ ( ¯
x
2j) p
2j 1
al ors 1 1
+ ( x(
2 j)
0 )p
2j 1 ;
1 1
+ ( ¯
x
2j) p
2j 1
d'où a2j 1x (
2 j 1)
0 1
+ ( x(
2 j)
0 )p
2j 1 ; a
2j 1¯
x
2j 1 1
+ ( ¯
x
2j) p
2j 1 ()
x(
2 j 1)
1
¯
x
2j et x (
2 j 1)
1
a
2j ¯
x
(2 j) (
a
2j ;
1, 8j= 1, ,l)
et 1+ ( x(
2 j 1)
1 )p
2j

1 1
+ ( ¯
x
2j 1) p
2j
d’où a2jx (
2 j)
1 1
+ ( x(
2 j+ 1)
1 )p
2j > a
2j ¯
x
2j 1
+ ( ¯
x
2j+ 1) p
2j ()
x(
2 j)
2 >
¯
x
2j
et
a2j 1x (
2 j 1)
1

1, 8j= 1, ,l)
et 1+ ( x(
2 j)
1 )p
2j 1
> 1+ ( ¯
x
2j) p
2j 1
() 1 1
+ ( x(
2 j)
1 )p
2j 1 <
1 1
+ ( ¯
x
2j) p
2j 1
d'où a2j 1x (
2 j 1)
1 1
+ ( x(
2 j)
1 )p
2j 1 < a
2j 1¯
x
2j 1 1
+ ( ¯
x
2j) p
2j 1 ()
x(
2 j 1)
2
¯
x
2j x(
2 j 1)
2
¯
x
2j et x (
2 j 1)
n <
¯
x
2j 1 pourtout n
2N
0.
La démenstration de l'hypothèse (H .2) est la même démonstration de l'hypothèse (H .1) ,
56

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D'UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D'ORDRE 1 3.2. EXISTENCE DE SOLUTIONS ILLIMITÉES nous obtenons
x(
2 j)
n
¯
x
2j 1 pour tout j
=1, ,l
Théorème 3.2.2 Supposons que k =2l, a
i>
1 pour tout i =1, , 2l et soit fX
ng ¥
0 être une solution du
système (3.4), alors les afrmations suivantes sont vraies :
i) Si (x (
2 j)
0 ,
x (
2 j 1)
0 )
2 (¯
x
2j,
¥ ) (0, ¯
x
2j 1) (
j= 1, ,l) , puis
lim
n ! ¥x
(
2 j)
n =
¥ et lim
n ! ¥x
(
2 j 1)
n =
0 pour tout j =1, ,l.
ii) Si (x (
2 j)
0 ,
x (
2 j 1)
0 )
2 (0, ¯
x
2j)

x
2j 1,
¥ ) ( j= 1, ,l) , puis
lim
n ! ¥x
(
2 j)
n =
0 et lim
n ! ¥x
(
2 j 1)
n =
¥ pour tout j =1, ,l.
Preuve 5 le point d’équilibre positive est
¯
X +
= ( ¯
x
1 ,
¯
x
2 ,
¯
x
3 ,
¯
x
4 ,

x
2l 1 ,
¯
x
2l)
= (( a
2l
1) 1 p
2l
, ( a
1
1) 1 p
1 ,( a
2
1) 1 p
2 ,( a
3
1) 1 p
3 , ,( a
2l 2
1) 1 p
2l 2
,( a
2l 1
1) 1 p
2l 1
)
Nous avons x(
2 j)
0
¯
x
2j et x (
2 j 1)
0 ;
¯
x
2j 1
D'après le théorème 3.2.1 on a
x(
2 j)
n
¯
x
2j et x (
2 j 1)
n
x(
2 j)
n
57

3.2. EXISTENCE DE SOLUTIONS ILLIMITÉES
CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1x
(
2 j)
n + 1
x(
2 j)
n = a
2jx (
2 j)
n 1
+ ( x(
2 j+ 1)
n )p
2j
x(
2 j)
n
= a
2jx (
2 j)
n
x(
2 j)
n (
1 + ( x(
2 j+ 1)
n )p
2j
) 1
+ ( x(
2 j+ 1)
n )p
2j
= x
(
2 j)
n (
a
2j
1 (x (
2 j+ 1)
n )p
2j
) 1
+ ( x(
2 j+ 1)
n )p
2j
donc le signe de x (
2 j)
n + 1
x(
2 j)
n est le même signe de
a
2j
1 (x (
2 j+ 1)
n )p
2j
on sait que
x(
2 j+ 1)
n (¯
x
2j+ 1) p
2j
() a
2j
1 (x (
2 j+ 1)
n )p
2j
; a
2j
1 (¯
x
2j+ 1) p
2j
puisque ¯
x
2j+ 1 = (
a
2j
1) 1 p
2 j
a2j
1 (x (
2 j+ 1)
n )p
2j
; 0
donc x(
2 j)
n + 1 ;
x(
2 j)
n
c’est à dire que, la suite fx(
2 j)
n g¥
0 est une suite croissante.
supposons que la suite fx(
2 j)
n g¥
0 est borné, i.e.
lim
n ! ¥x
(
2 j)
n =
g
j j
= 1, ,l
on a x(
2 j)
n = a
2jx (
2 j)
n 1 1
+ ( x(
2 j+ 1)
n 1 )p
2j
x (
2 j)
n (
1 + ( x(
2 j+ 1)
n 1 )p
2j
) = a
2jx (
2 j)
n 1
58

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D’ORDRE 1 3.2. EXISTENCE DE SOLUTIONS ILLIMITÉES donc
lim
n ! ¥(
x (
2 j)
n (
1 + ( x(
2 j+ 1)
n 1 )p
2j
)) = lim
n ! ¥(
a
2jx (
2 j)
n 1)
par conséquence gj(
1 + ( x(
2 j+ 1)
n 1 )p
2j
) = a
2jg
j
alors gj(
1 + ( x(
2 j+ 1)
n 1 )p
2j
a
2j) =
0
() 8
>
>
>
>

>
>
>
: g
j =
0
ou
1 + ( x(
2 j+ 1)
n 1 )p
2j
a
2j =
0
() 8
>
>
>
>

>
>
>
: g
j =
0
ou
x (
2 j+ 1)
n 1 = (
a
2j
1) 1 p
2 j
contraduction puisque g
j 2
¯
x
2j,
¥ , et le point d’équilibre est instable
(i.e. lim
n! ¥ x(
2 j+ 1)
n 6
= ( a
2j
1) 1 p
2 j
)
d’où la suite fx(
2 j)
n g¥
n = 0 est une suite n’est pas borné et croissante, alors
lim
n ! ¥x
(
2 j)
n =
¥
Montrons que x(
2 j 1)
n + 1 ;
x(
2 j 1)
n
x (
2 j 1)
n + 1
x(
2 j 1)
n =a
2j 1x (
2 j 1)
n 1
+ ( x(
2 j)
n )p
2j 1
x(
2 j 1)
n
= a
2j 1x (
2 j 1)
n
x(
2 j 1)
n (
1 + ( x(
2 j)
n )p
2j 1
) 1
+ ( x(
2 j)
n )p
2j 1
= x
(
2 j 1)
n (
a
2j 1
1 (x (
2 j)
n )p
2j 1
) 1
+ ( x(
2 j)
n )p
2j 1
59

3.2. EXISTENCE DE SOLUTIONS ILLIMITÉES
CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D'UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D'ORDRE 1donc le signe de x
(
2 j 1)
n + 1
x(
2 j 1)
n est le même signe de
a
2j 1
1 (x (
2 j)
n )p
2j 1
on sait que
x(
2 j)
n
¯
x
2j ()
(x (
2 j)
n )p
2j 1
; (¯
x
2j) p
2j 1
() a
2j 1
1 (x (
2 j)
n )p
2j 1

1)
puisque ¯
x
2j = (
a
2j 1
1) 1 p
2 j 1
a 2j 1
1 (¯
x
2j) p
2j 1
= 0
donc a2j 1
1 (x (
2 j)
n )p
2j 1
; 0
c'est à dire que la suite fx(
2 j)
n g¥
0 est une suite décroissante et minoré par 0, d'où la suite elle est
convergente
i.e. lim
n ! ¥x
(
2 j 1)
n =
l
lim
n ! +¥ x
(
2 j 1)
n
1 + ( x(
2 j)
n 1) p
2j 1
= lim
n ! +¥ a
2jx (
2 j 1)
n 1
nous avons lim
n ! +¥ (
x (
2 j)
n 1) = +
¥
et lim
n ! +¥ (
x (
2 j)
n 1) =
l
donc a2jl
= ¥
alors l= ¥
60

CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D'UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D'ORDRE 1 3.3. EXEMPLES NUMÉRIQUES d'où
lim
n ! +¥ (
x (
2 j 1)
n ) =
¥
La même démenstration pour la deuxième partie, nous obtenons lim
n ! ¥x
(
2 j)
n =
0 et lim
n ! ¥x
(
2 j 1)
n =
¥ pour tout j =1, ,l.
3.3 Exemples numériques On pose k= 4
Exemple 3.3.1 (Casa
i ;
1 , i= 1, , 4)
Nous supposons (a
1,
a
2,
a
3,
a
4) = (
1/6, 2/3, 8/15, 7/28 )
donc lepoint d'équilibre est
¯
X = ( ¯
x
1,
¯
x
2,
¯
x
3,
¯
x
4) = (
0, 0, 0, 0 ) =0
et (¯
x
0(
1 )
, ¯
x
0(
2 )
, ¯
x
0(
3 )
, ¯
x
0(
4 )
) = ( 2, 8, 5, 1 )
et (p
1,
p
2,
p
3,
p
4) = (
5, 2, 1, 6 )
61

3.3. EXEMPLES NUMÉRIQUES
CHAPITRE 3. LE COMPORTEMENT D'UN SYSTÈME DE K-ÉQUATIONS AUX
DIFFÉRENCES D'ORDRE 1 62